Les coniques
1 Définitions
Soient F un point fixé et D une droite telle que F n'appartienne pas à D. Soit e un réel strictement positif.
On considère l'ensemble des points M du plan de projeté orthogonal H sur D tels que M vérifie la condition suivante : la distance de m à F sur la distance MH est égale à e. Cet ensemble est appelé conique de foyer F, de directrice D et d'excentricité e.
Propriété : Les isométries et les similitudes transforment les coniques en des coniques de même excentricité.
- Si 0 < e < 1, la conique est une ellipse ;
- Si e=1 , la conique est une parabole ;
- Si e > 1 , la conique est une hyperbole.
Axe focal :
L'axe focal d'une conique est la perpendiculaire à sa directrice D passant par F. Toute conique a pour axe de symétrie son axe focal.
Sommets d'une conique :
Les points d'intersection entre une conique et son axe focal sont appelés les sommets. Soit K le projeté orthogonal de F sur , K est le projeté orthogonal des éventuels sommets.
- Si e=1, la conique a un seul sommet, le point M, milieu de [FK].
- Si e différent de 1, la conique a deux sommets : S, le barycentre de {(F, 1), (K, e)} et S', le barycentre de {(F, 1), (K, -e)}.
- Si e=1, la conique est une parabole (un seul sommet) ; si 0 < e < 1, la conique est une ellipse, et si e > 1, il s'agit d'une hyperbole.
2 Equation réduite d'une parabole
Choix du repère.
Equation de la parabole de foyer F, de directrice D.
Théorème : soit P la parabole de foyer F, de directrice D, de sommet S milieu de [KF]. Dans le repère défini ci-dessus, P a pour équation y²=2px, avec p=KF. p est appelé paramètre de la parabole.
Nature des ensembles des points d'équation y² = ax, a différent de 0, ou x² = ay, a différent de 0.
1er cas : y² = a*x, en posant a=2p
2ème cas : x²=ay
3 Equation réduite d'ellipse et d'hyperbole
Choix du repère.
Soient S et S' les sommets : S = bary {(F, 1), (K, e)} et S' = bary {(F, 1), (K, -e)}. On prend pour origine O milieu de [SS'], pour axe des abscisses l'axe focal, et pour :
Equation réduite
Ensemble des points M (x, y) vérifiant (E) :
Ensemble des points M(x, y) vérifiant (E') :
